Notion d'inverse modulo un entier

Définition

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

On dit que \(a\) est inversible modulo \(n\) s'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(ka \equiv 1 \ [n]\)  (ou \(ak \equiv 1 \ [n]\) ).

On dit alors que \(k\) est un inverse de \(a\) modulo \(n\) .

Exemples

• \(2\) est un inverse de \(3\) modulo \(5\) , car \(2 \times 3 \equiv 6 \equiv 1 \ [5]\) ;
• \(7\) est un inverse de  \(2\) modulo \(13\) , car \(2 \times 7 \equiv 14 \equiv 1 \ [13]\) .